粗略理解

你可以先把它理解成：

两个量是不是会一起“往同一个方向动”。

比如：

• 你学习时间多的时候，考试分数往往也更高，那这两个量大概率是“同向变化”，协方差通常是正的。
• 天气越冷，空调制冷耗电可能越少，这两个量可能一个增大另一个减小，协方差通常是负的。
• 如果两个量的变化看不出明显一起动的规律，协方差就可能接近 0。

更直觉一点看：

• 正协方差：一个比平均值大时，另一个也常比平均值大。
• 负协方差：一个比平均值大时，另一个反而常比平均值小。
• 协方差接近 0：线性关系不明显。

它的一个常见公式是：

$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}X)(Y-\mathbb{E}Y)]$

这里每一部分的意思是：

• X, Y：两个随机变量
• $\mathbb{E}X$：X 的平均值
• $(X-\mathbb{E}X)$：X 偏离自己平均值多少
• $(Y-\mathbb{E}Y)$：Y 偏离自己平均值多少
• 两者相乘后再取平均：就得到“它们偏离平均值时是否常常同向”的总体程度

你可以记一个很有用的特殊情况：